Question

如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连结EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.

（1）求证：EC是⊙O的切线.

（2）过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明：连结OC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB＝90°

即∠1＋∠2＝90°

∵OC＝OA

∴∠1＝∠A

又∵∠A＝∠BCE

∴∠BCE＝∠1

∴∠BCE＋∠2＝90°

即OC⊥EC

又EC过半径OC的外端

∴EC是⊙O的切线

（2）由（1）可知OC⊥EC

又AD⊥EC

∴OC∥AD

∴

设⊙O的半径为r

在Rt△ADE中AD＝3，ED＝4，则AE＝5

也即OE＝5－r；OC＝r

∴

∴

即⊙O的半径为