Question

已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据B点的横坐标为-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据k=xy求出即可；
（2）根据S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可．

解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2．
∴B点坐标为（-8，-2）．
∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（-2m，-

n

2

）在双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x上
∴

1 4 ×(-2m)=- n 2 (-2m)(- n 2 )=4

得

m1=2 n1=2

m2=-2 n2=-2

（舍去）
∴C（-4，-2），M（2，2）．
设直线CM的解析式是y=ax+b，把C（-4，-2）和M（2，2）代入得：

-4a+b=-2 2a+b=2.

解得a=b=

2

3

．
∴直线CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

．

点评：此题主要考查了待定系数法函数解析式以及一次函数与反比例函数交点的性质，根据四边形OBCE的面积为4得出k的值是解决问题的关键．