Question

（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为S₁，△BOC的面积为S₂，△COD的面积为S₃，△AOD的面积为S₄ ，求证：S₁S₃=S₂S₄；
（2）如图2，四边形ABCD是梯形，对角线AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为4，△BOC的面积为9，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）作BE⊥AC于点E，

则
∴，
同理可证：，
∴
∴S₁S₃=S₂S₄；

（2）∵AB∥CD，
∴S_△ABD=S_△ABC（同底等高）
∴S_△AOD=S_△BOC，
设AOD的面积为S，
由（1）可得S²=4×9
∴S=6，
∴梯形ABCD的面积=6+6+4+9=25．
分析：（1）作BE⊥AC于点E，从而可分别表示出S₁和S₂然后可得出，同理可得出，这样即可证得结论．
（2）根据同底等高的三角形的面积相等可得出S_△ABD=S_△ABC，S_△AOD=S_△BOC，从而解出AOD的面积，也就能得出梯形的面积．
点评：本题考查梯形及三角形的面积，难度一般，对于此类综合性题目，同学们首要做的还是掌握基本概念，只有这样才能在解答综合题时融会贯通．