Question

如图，直线y=kx+8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，A点的坐标为（4，0）．
（1）求k的值；
（2）过线段AB上一点P（不与端点重合）作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．设线段PN的长为t，矩形OMPN的面积为S，当点P移动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx+8经过A（4，0），
∴0=4k+8，
∴k=-2．

（2）∵四边形PNOM是矩形，
∵PN⊥y轴，PM⊥x轴，
∵点P在直线y=-2x+8上，PN=t，
∴P（t，-2t+8），
∴PM=-2t+8，
∴S=t•（-2t+8）=-2t²+8t（0＜t＜4）．
分析：（1）因为直线y=kx+8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，A点的坐标为（4，0），即直线y=kx+8经过A（4，0），所以0=4k+8，解之即可；
（2）因为四边形PNOM是矩形，点P在直线y=-2x+8上，PN=t，所以P（t，-2t+8），即PM=-2t+8，而S=PN•PM，由此即可得到S与t的函数关系式，因为P在线段AB上，不与端点重合，所以0＜t＜4．
点评：解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．