Question

2．已知函数y=-x²+2ax+1-a，在0≤x≤1时，有最大值2，则实数a的值为-1或2．

Answer 1

分析 先求得其对称轴为x=a，再分a＜0、0≤-a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．

解答 解：∵y=-x²+2ax+1-a，
∴其对称为x=a，开口向下，
当a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，
∴当x=0时有最大值，最大值=1-a=2，
解得a=-1＜0，符合题意；
当0≤a≤1时，y的最大值=-a²+2a²+1-a=2，
∴a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$（不合题意，舍去）；
当a＞1时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，
∴最大值=-1+2a+1-a=a=2＞1，
∴a=2符合题意，
综上可知a的值为-1或2．
故答案为：-1或2．

点评 本题主要考查二次函数的单调性和最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．