Question

如图，点P是双曲线y=（x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=______；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，求S₂．

Answer 1

解：（1）四边形PEOF的面积S₁=四边形PAOB的面积+△OAE的面积+△OBF的面积=|k₁|+k₂=k₂+k₁=12+6=18

（2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．
证明：如图，由题意可得：
A（-4，0），B（0，3），E（-4，-），F（2，3），
∴PA=3，PE=3+=，PB=4，PF=4+2=6，
∴==，==，
∴=，
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；
②S₂没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，-），N（2，0），Q（2，-），
而S_△EFQ=S_△PEF，
则S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=12×+6×+2×
=6+3+3
=12．
故答案为12．
分析：（1）由反比例函数的图形和性质可知：四边形OAPB面积为K₁，△OAE与△OBF面积之和为k₂，可求四边形PEOF的面积；
（2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系．
②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S_△EFQ=S_△PEF，可得出S₂的表达式，再根据反比例函数k的几何意义求出面积．
点评：本题考查了反比例函数k的几何意义，此题难度较大，主要考查了反比例函数、二次函数的图象性质及相似三角形判定．同学们要熟练掌握相似三角形的判定方法．