Question

已知：抛物线y＝ax²－4ax＋m与x轴的一个交点为A(1，0)．

(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，且△ABC的面积为3，求此抛物线的解析式；

(3)点D是(2)中开口向下的抛物线的顶点．抛物线上点C的对称点为Q，把点D沿对称轴向下平移5个单位长度，设这个点为P；点M、N分别是x轴、y轴上的两个动点，当四边形PQMN的周长最短时，求PN＋MN＋QM的长．(结果保留根号)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意，抛物线的对称轴为． 　　抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)， 　　∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3，0)　　1分 　　(2)抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)， 　　 　　∴C(0，3a)．　　2分 　　△ABC的面积为3， 　　AB＝2，OC＝， 　　S△ABC＝． 　　∴＝3． 　　∴，． 　　∴所求抛物线的解析式为或．　　4分 　　(3)依题意知，抛物线的解析式为： 　　∴点D(2，1)，C(0，－3)，P(2，－4)． 　　设Q(x，y)， 　　点C与点Q关于x＝2对称， 　　∴点Q坐标()．　　6分 　　分别作P、Q关于x轴、y轴的对称点、，联结，分别交x轴、y轴于点M、N．联结PN、MQ，则此时四边形PQMN的周长最短．　　7分 　　∴，． 　　过作E垂直E于E．∴E()． 　　∴E＝6，E＝7， 　　由作图可知，PN＝N，QM＝M． 　　∴PN＋MN＋QM＝N＋MN＋M＝＝． 　　∴PN＋MN＋QM的长为．　　8分