Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC⊥BD于O，求证：AC平分∠BAD．

Answer 1

证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵∠ADC=90°，
∴AC为直径，
∵AC⊥BD，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
分析：首先根据四边形的性质可证出四边形对角互补，从而得到A、B、C、D四点共圆，再根据90°角所对的弦为直径，证明AC为直径，再根据垂径定理可得=，根据圆周角定理可得∠BAC=∠DAC，进而得到结论．
点评：此题主要考查了四点共圆，以及垂径定理和圆周角定理，关键是掌握垂径定理．