Question

如图，AB为⊙O的直径，BE切⊙O于点C，连接AE交⊙O于点C，D是BE的中点．求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OC、OD，
∵O、D分别为AB、BE的中点，
∴OD∥AE，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠BOD，
∵在△COD和△BOD中，
，
∴△COD≌△BOD，
∴∠OCD=∠OBD，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
即CD是⊙O的切线．
分析：连接OC、OD，根据O、D分别为AB、BE的中点，可证得OD∥AE，然后根据平行线的性质得出∠BOD=∠A，∠COD=∠ACO，又根据OA=OC，得出∠A=∠ACO，即可证明∠COD=∠BOD，然后根据SAS证明△COD≌△BOD，即可得出∠OCD=∠OBD=90°，可证明OC为切线．
点评：本题考查了切线的判定以及平行线的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行线的性质证明角的相等，继而证明三角形的全等．