Question

4．已知x²-2x-1=0，求x⁴-x³-5x²-7x+5．

Answer 1

分析 由x²-2x-1=0得到x²-2x=1．然后将所求的代数式进行变形为：x²（x²-2x）+x（x²-2x）-3（x²-2x）-13x+5，然后将其整体代入进行求值．

解答 解：解方程x²-2x-1=0，得
x=1±$\sqrt{2}$．
∵x²-2x-1=0，
∴x²-2x=1，
∴x⁴-x³-5x²-7x+5，
=x²（x²-2x）+x（x²-2x）-3（x²-2x）-13x+5，
=x²+x-3-13x+5，
=3-10x．
则原式=3-10（1+±$\sqrt{2}$）=-7±10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．