Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD。

（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长。

Answer 1

解：（1）当BD=AC=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，
∵P是优弧BAC的中点，
∴弧PB=弧PC，
∴PB=PC，
∵BD=AC=4，∠PBD=∠PCA，
∴△PBD≌△PCA，
∴PA=PD即△PAD是以AD为底边的等腰三角形；
（2）由（1）可知，当BD=4时，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
过点P作PE⊥AD于E，则AE=AD=1，
∵∠PCB=∠PAD，
∴cos∠PAD=cos∠PCB=，
∴PA=。