Question

5．如图．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，边BC上有一动点E（不与点B、C重合），沿着AE折叠△AEB得到△AEB′，点B的对应点为点B′．
（1）如图1，当点B′落在边AD上时，求证：△AEB′为等腰三角形；
（2）如图2，当△BAE=30°时，连接DB′，求△ADB′的面积；
（3）如图3，当点E运动到BC的中点处时，连CB′，求CB′的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠性质知∠AB′E=∠B=90°，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，即可得；
（2）作B′F⊥AD，由△AEB≌△AEB′且∠BAE=30°知∠BAE=∠B′AE=∠B′AF=30°、AB=AB′=2，可得B′F=1，即可得答案；
（3）由折叠性质得出AB=AB′=2、∠B=∠AB′E=90°、BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，设B′P=x，AP=y，证△APB′∽△B′QE$\frac{AP}{B′Q}$=$\frac{B′P}{EQ}$=$\frac{AB′}{B′E}$即$\frac{y}{2-x}$=$\frac{x}{y-\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$，求得x、y的值，从而得出B′F=$\frac{36}{25}$、CF=$\frac{27}{25}$，利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如图1，

由题意知△AEB≌△AEB′，
∴∠AB′E=∠B=90°，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴△AEB′为等腰直角三角形；

（2）如图2，作B′F⊥AD于点F，

∵△AEB≌△AEB′，且∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠B′AE=∠B′AF=30°，AB=AB′=2，
在Rt△AB′F中，B′F=$\frac{1}{2}$AB′=1，
∴S_△ADB′=$\frac{1}{2}$•AD•B′F=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$；

（3）如图3，过点B′作B′P⊥AD于点P，延长PB′交BC于点Q，

∵△AEB≌△AEB′，
∴AB=AB′=2，∠B=∠AB′E=90°，
∵E为BC中点，且BC=AD=3，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∵AD∥BC，B′P⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∴∠APB′=∠B′QE=90°，
∴∠PAB′+∠PB′A=90°，
又∵∠AB′E=90°，
∴∠PB′A+∠EB′Q=90°，
∴∠PAB′=∠QB′E，
∴△APB′∽△B′QE，
设B′P=x，AP=y，
则B′Q=2-x，EQ=BQ-BE=AP-BE=y-$\frac{3}{2}$，
由$\frac{AP}{B′Q}$=$\frac{B′P}{EQ}$=$\frac{AB′}{B′E}$可得$\frac{y}{2-x}$=$\frac{x}{y-\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$，
解得：x=$\frac{14}{25}$、y=$\frac{48}{25}$，
即B′P=$\frac{14}{25}$、AP=$\frac{48}{25}$，
则B′F=2-$\frac{14}{25}$=$\frac{36}{25}$，CF=BC-BF=3-$\frac{48}{25}$=$\frac{27}{25}$，
∴B′C=$\sqrt{B′{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{36}{25}）^{2}+（\frac{27}{25}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握矩形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．