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    （2013•保定一模）如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC-CB交于N，与折线DA-AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．

    （1）用含t的代数式表示b；
    （2）确定S与t之间的函数关系式；
    （3）t为何值时，S最大；
    （4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；
    （5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
    分析：（1）设P（t，0），将P点的坐标代入解析式y=x+b就可以求出结论；
    （2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式；
    （3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值；
    （4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可；
    （5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值．
    解答：解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），
    ∴0=t+b，
    ∴b=-t；

    （2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
    ∴D（1，3）
    ∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
    ∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
    ∴OP=|-b|，OQ=|b|，
    ∴OP=OQ，
    ∴∠NPB=∠OPQ=45°．
    过点C作CK⊥AB于K，
    ∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
    ∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
    ∴∠CBO=45°．
    ①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
    ∴BQ=7-t，
    ∴S=S△NBP-S△PMB=
    1
    2
    （7-t）×3-
    1
    2
    （1-t）（7-t），
    =
    1
    2
    （7-t）（2+t），
    =-
    1
    2
    t2+
    5
    2
    t+7
    ②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
    ∵∠NPB=∠CBO=45°，
    ∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
    ∴NE=
    1
    2
    PB=
    1
    2
    （7-t），
    ∴S=
    1
    2
    ×（7-t）×
    1
    2
    （7-t），
    =
    1
    4
    （7-t）2；

    （3）①当0≤t≤1时，
    S=-
    1
    2
    t2+
    5
    2
    t+7，
    =-
    1
    2
    （t-
    5
    2
    ）2+
    81
    8
    ，
    ∵a=-
    1
    2
    ＜0，
    ∴抛物线的开口向下．
    ∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
    ∵对称轴为直线t=
    5
    2
    ，
    ∴t=1时，S最大=9；
    ②当1≤t≤7时，
    S=
    1
    4
    （t-7）2；
    ∵a=
    1
    4
    ＞0，
    ∴抛物线的开口向上．
    ∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
    ∵对称轴为直线t=7，
    ∴t=1时，S最大=9，
    综上所述，t=1时，S最大=9；

    （4）由题意，得
    S梯形ABCD=
    1
    2
    （3+6）×3=
    27
    2
    ．
    ①当0≤t≤1时
    S=-
    1
    2
    （t-
    5
    2
    ）2+
    81
    8
    =
    27
    4
    ，
    解得：t=
    5±3
    		3
    2
    不符合0≤t≤1（舍去），
    ②当1≤t≤7时，
    S=
    1
    4
    （t-7）2=
    27
    4
    ，
    解得：t=7±3
    		3

    ∵1≤t≤7，
    ∴t=7-3
    		3
    ．

    （5）当△POQ∽△PCB时，
    ∴
    PO
    PC
    =
    OQ
    CB
    ，
    如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
    BC=3
    		2
    ，
    ∵OP=t，PQ=
    		2
    t，BP=7-t，
    ∴
    		2
    t
    7-t
    =
    t
    3
    		2
    ，
    解得：t1=0（舍去），t2=1；
    当△POQ∽△CPB时，
    ∴∠POQ=∠BPC=90°，
    ∴CP⊥AB，
    ∴PC=3，
    ∴AP=3，
    ∴OP=4，
    ∴t=4．
    ∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
    点评：本题考查直角梯形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
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    （参考数据：
    		2
    ≈1.41，
    		3
    ≈1.73）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•保定一模）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1
    求证：AE=CD，AE⊥CD．
    证明：延长CD交AE于K
    在△AEB和△CDB中
    ∵
    ∠ABE=∠CBD=90°
    AB=BC
    BE=DB

    ∴△AEB≌△CDB（SAS）
    ∴AE=CD
    ∠EAB=∠DCB
    ∵∠DCB+∠CDB=90°
    ∠ADK=∠CDB
    ∴∠ADK+∠DAK=90°
    ∴∠ADK=90°
    ∴AE⊥CD
    （2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；
    （3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．

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