Question

已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，求证∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段EF的垂直平分线相交于一点．

Answer 1

分析：设∠ABE的平分线与∠ACF的平分线相交于点N，连接NE、NF．由BE⊥AC，CF⊥AB，根据同角的余角相等得到∠ABE=∠ACF，再由角平分线定义得到∠FBN=∠FCN．由此判断B、C、N、F四点共圆，即得到B、C、E、N、F五点共圆．而∠FBN=∠NBE，得到NF=NE，所以N在EF的垂直平分线上．

解答：解：如图．设∠ABE的平分线与∠ACF的平分线相交于点N，连接NE、NF．
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF，
而BN，CN分别为∠ABE和∠ACF的平分线，
∴∠FBN=∠FCN．
∴B、C、N、F四点共圆．
∴B、C、E、N、F五点共圆．
∵∠FBN=∠NBE，
∴NF=NE．
∴N在EF的垂直平分线上．
即∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段EF的垂直平分线相交于一点．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．也考查了圆周角定理以及角平分线的性质．