Question

如图，⊙O与⊙O₁相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．
（1）求证：OA²=OC•OD；
（2）如果AC+BC=

3

OC，⊙O的半径为r，求证：AB=

3

r．

Answer 1

分析：（1）欲证OA²=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA可以得出；
（2）因为AC+BC=

3

OC，⊙O的半径为r，欲证AB=

3

r，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出．

解答：证明：（1）连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠OCA=∠OBA，
∴∠OAB=∠OCA．
∵∠AOC=∠DOA，
∴△AOC∽△DOA．
∴

OA

OD

=

OC

OA

，
∴OA²=OC•OD．

（2）∵△AOC∽△DOA，
∴

AC

OC

=

DA

OA

．
同理可得，

BC

OC

=

DB

OB

．
∴

AC

OC

+

BC

OC

=

DA

OA

+

DB

OB

，
即

AC+BC

OC

=

AB

OA

．
∵AC+BC=

3

OC，OA=r，
∴AB=

3

r．

点评：本题考查了相似三角形的性质．特别注意：第（2）小题构思巧妙，解答此类题关键是综合两个相似比，得出结论．