Question

19．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）根据解析式分别表示M、N两点的坐标，其纵坐标的差就是MN的长，配方后求最值即可；
（3）分两种情况：
①当点P在线段OB上时，则有MN=-m²+3m，
②当点P不在线段OB上时，则有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
根据MN=3列方程解出即可．

解答 解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-\\;b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0可得，-x²+2x+3=0，解x₁=-1，x₂=3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+s，
把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3；

（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M（m，-m²+2m+3），N（m，-m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值，MN的最大值为$\frac{9}{4}$；

（3）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=-m²+3m，
∴-m²+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
∴m²-3m=3，解得m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的判定以及一元二次方程的解法，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题，同时还采用了分类讨论的方法解决问题．