Question

3．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或$\sqrt{2}$+1或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图1，当DF=CD时，有两个解，如图2，当CF=CD=4时，有两个解，如图3中，当FD=FC时有一个解，分别求出即可．

解答 解：如图1，当DF=CD时，点F与A重合或在点F′处．
∵在菱形ABCD中，AB=4，
∴CD=AD=4，
作DN⊥AB于N，
在RT△ADN中，∵AD=4，∠DAN=45°DN=AN=NF′=2$\sqrt{2}$，
∴AP=2$\sqrt{2}$，
如图2，当CF=CD=4时，点F与B重合或在F′处，
点F与B重合，PE是AB的垂直平分线，
作CM⊥AB于M，
∵CM=MF′=AN=2$\sqrt{2}$，
∴AF′=4$\sqrt{2}$+4，
∴AP=$\frac{1}{2}$AF′=2，
如图3中，当FD=FC时，
AF=2$\sqrt{2}$+2，
∴AP=$\frac{1}{2}$AF=$\sqrt{2}$+1．
综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或$\sqrt{2}$+1或2$\sqrt{2}$．
故答案为：2或$\sqrt{2}$+1或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．