Question

13．如图（1），直线l⊥x轴于点P，Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边AC=3，点A（0，t）在y轴上运动，直角边BC在直线l上，将△ABC绕点P顺时针旋转90°，得到△DEF．以直线l为对称轴的抛物线经过点F．
（1）求点F的坐标（用含t的式子表示）
（2）①如图（2）当抛物线的顶点为点C时，抛物线恰好过坐标原点．求此时抛物线的解析式；
②如图（3）不改变①中抛物线的开口方向和形状，让点A的位置发生变化，使抛物线与线段AB始终有交点M（x₀，y₀）．
（ⅰ）求t的取值范围；
（ⅱ）变化过程中，当x₀变成某一个值时，点A的位置唯一确定，求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论求出OF即可解决问题；
（2）①由题意抛物线的顶点坐标（3，3），经过（0，0），F（6，0），利用待定系数法即可解决问题；
②（ⅰ）设平移后的抛物线为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+m，把F（3+t，0）代入得到m=$\frac{1}{3}$t²，推出抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+$\frac{1}{3}$t²，当抛物线经过点A（0，t）时，t=-3+$\frac{1}{3}$t²，解得t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，由此即可解决问题；
（ⅱ）易知直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+t}\\{y=-\frac{1}{3}（x-3）^{2}+\frac{1}{3}{t}^{2}}\end{array}\right.$，把M（x₀，y₀）代入，消去y₀得到t²-3t-x₀²+10x₀-9=0，由题意△=0，求出x₀即可解决问题．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边AC=3，
∴BC=4，
∵PC=PF=OA，OP=AC=3，
当t≥0时，OF=OP+PF=3+t，
当t＜0时．OF=OP-PF=3-（-t）=3+t，
∴F（3+t，0）．

（2）①由题意抛物线的顶点坐标（3，3），经过（0，0），F（6，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+3，（0，0）代入得到a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3．

②（ⅰ）设平移后的抛物线为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+m，把F（3+t，0）代入得到m=$\frac{1}{3}$t²，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+$\frac{1}{3}$t²，
当抛物线经过点A（0，t）时，t=-3+$\frac{1}{3}$t²，解得t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
由题意，当抛物线与线段AB始终有交点M（x₀，y₀）时，t的取值范围$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

（ⅱ）易知直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+t}\\{y=-\frac{1}{3}（x-3）^{2}+\frac{1}{3}{t}^{2}}\end{array}\right.$，把M（x₀，y₀）代入，消去y₀得到t²-3t-x₀²+10x₀-9=0，
由题意△=0，
∴9+4x₀²-40x₀+36=0，
解得x₀=$\frac{10±\sqrt{55}}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{10+\sqrt{55}}{2}$，$\frac{-18-3\sqrt{55}}{8}$）或（$\frac{10-\sqrt{55}}{2}$，$\frac{-18+3\sqrt{55}}{8}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用待定系数法解决问题，学会把问题作为一元二次方程解决，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．