Question

若m为整数，在使m²+m+4为完全平方数的所有m的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c．
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以

2

，同时求其差再除以

2

，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2004，2005，2006？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，再分别求出a、b、c的值即可．
（2）根据题意所述进行计算可得出规律，继而可判断出答案．

解答：解：（1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，
由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），
（2k+p）（2k-p）=15，显然：2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，
解得p=7或p=1，
所以m=

-1±p

2

，
得：m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）因为(

a+b

2

)2+(

a-b

2

)2+c2=a2+b2+c2，
即操作前后，这三个数的平方和不变，
而3²+（-4）²+（-1）²≠2004²+2005²+2006²．
所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006这三个数．

点评：本题考查了对完全平方数的理解，拓展应用是解此题的关键，要打破思维常规进行分析．