Question

我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG，它们共顶点A（如图1），可以绕顶点A旋转，CD，EF相交于点P，以下各问题都以此为前提．
问题要求：
（1）连接BE、DG（如图2），求证：BE=DG，BE⊥DG；
（2）连接BG、CF（如图3），有三个结论：
①BG∥CF；
②△ABG∽△PCF；
③△ABG与△PCF位似．
请你从①，②，③三个结论中选择一个进行证明：
（说明：选①做对的得3分，选②做对的得4分，选③做对的得5分）
（3）连接BE、CF（如图4），求的值．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB=AD，∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，AE=AG
∴△ABE≌△ADG，即BE=DG．
分别延长GD，BE交于点M交EF于点N，
∵∠CEN+ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90°
∴BE⊥GD
（∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，∴△ADG可以看成由△ABE绕顶点A旋转90°，即BE⊥DG．）

（2）证明：①∵AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，∠CBG=∠FGB．
∴∠GBC=∠BGF，
又∵BC=GF，
∴∠BCF=∠GFC，
又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°，
∴∠CBG+∠BCF=180°，即BG∥CF；
②续①又∵AB∥PC，AG∥PF，
∴∠ABG=∠PCF，∠AGB=∠PFC即△ABG∽△PCF；
③续②连接AP交GF的延长线于Q₁，交BC的延长线于Q₂，
则=，=，而AB=AG，PC=PF
∴=，亦有=，Q₁P=Q₂P
∴Q₁，Q₂重合，即BC，AP，GF相交于点Q，△ABG与△PCF位似．
（3）连接AC，AF可证得△ABE∽△ACF，
=．
分析：（1）根据正方形的性质，即可得AB=AD，∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，AE=AG，由边角边判定方法即可证得△ABE≌△ADG，即BE=DG；∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，所以△ADG可以看成由△ABE绕顶点A旋转90°，即BE⊥DG；
（2）根据等边对等角即可证得BG∥CF；根据平行线的性质可的对应角相等，即可证得②△ABG∽△PCF；续②连接AP交GF的延长线于Q₁，交BC的延长线于Q₂，由位似的性质即可求得；
（3）连接AC，AF可证得△ABE∽△ACF，根据相似三角形的性质即可求得．
点评：此题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．还要注意辅助线的选择．