Question

19．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是此抛物线上的点，点E是其对称轴上的点，求以A，B，D，E为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．
（2）分以AB为边和为对角线两种情况，利用面积公式即可求出平行四边形的面积．
（3）先设出点P的坐标，进而表示出AP．CP．AC，再按等腰三角形的边分成三种情况，建立方程求解即可．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=-2或x=4，
∴A（4，0）、B（-2，0）．
把x=0代入抛物线的解析式得：y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）由题意得，抛物线的对称轴为x=1，
如图1，当AB为对角线时，D₁为抛物线的顶点，此时四边形ADBE为菱形，
∴AB=6，DE=|2k|=$\frac{9}{2}$，
故S_{平行四边形ADBE}=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$；

②当AB为边时，DE∥AB，且DE=AB，
只能在x轴上方，有两种情况，D₂（-5，$\frac{27}{4}$）或D₃（7，$\frac{27}{4}$）但面积相等，
S_{平行四边形ABDE}=6×$\frac{27}{4}$=$\frac{81}{2}$，
∴以点A，B，D，E为顶点的平行四边形的面积为$\frac{27}{2}$或$\frac{81}{2}$；

（3）此抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP是等腰三角形，设P（1，a），
∴AP²=a²+9，CP²=（a+2）²+1=a²+4a+5，AC²=20，
①当AP=CP时，即：a²+9=a²+4a+5，
∴a=1，
∴P₁（1，1）
②当AC=CP时，即：a²+4a+5=20，
∴a=-2±$\sqrt{19}$，
∴P₂（1，-2+$\sqrt{19}$），P₃（1，-2-$\sqrt{19}$）
③当AC=AP时，即：a²+9=20，
∴a=±$\sqrt{11}$，
∴P₄（1，$\sqrt{11}$），P₅（1，-$\sqrt{11}$），
∴满足条件的点P的坐标为P₁（1，1）、P₂（1，-2+$\sqrt{19}$），P₃（1，-2-$\sqrt{19}$）、P₄（1，$\sqrt{11}$），P₅（1，-$\sqrt{11}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．