Question

14．如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证△APQ∽△ABC，推出$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，代入得出$\frac{10-2t}{10}=\frac{2t}{8}$，求出方程的解即可；
（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程$-\frac{5}{6}{t}^{2}+6t=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．

解答 解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{10-2t}{10}=\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$，
∴当t=$\frac{20}{9}$时，PQ∥BC．
（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
即$-\frac{5}{6}{t}^{2}+6t=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×8×6，
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

点评 本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．