Question

如图，射线OA⊥射线OB，半径r=2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA没有公共点），P是OA上的动点，且PM=3cm，设OP=xcm，OQ=ycm．
（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值；
（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形，
∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，
∴PD=x-2，
在Rt△MDP中，y²+（x-2）²=3²，
∴x²-4x+y²=5，
当如图所示情况时，OD=2；
当⊙M与OA相切时，
可知OP=2+，
∴x取值范围为0≤x＜2+；

（2）①若OM=MP，此时x=4，
②若MP=OP时，此时x=3，
③若OM=OP时，
∵OM=4+y²，
∴4+y²=x²，
∴，
解得x=；

（3）∵△QMO∽△MOP，此时∠OMP=90°，则，
∴==，
∴4+y²=2x，
∴，
∴x=1+＜2，
∴存在这样的实数x，并且x=1+．
分析：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，可以知道△MDP为直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；
（2）若△MOP为等腰三角形，①若OM=MP，则有OD=PD，此时x=2×2=4；②若MP=OP时，x=3；③若OM=OP时，OM=4+y²，结合（1）求出x的值；
（3）△MQO∽△OMP，因为∠Q=90°，∠OMP=90°，根据相似比及（1）的关系式求相应x的值．
点评：此题综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此题是一个大综合题，难度较大．