Question

如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE．
（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；
（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先过D作DF⊥BA，垂足为F，再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再证明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，进而得到AF=EC，然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；
（2）过D作DF⊥BA，垂足为F，首先证明∠DCE=∠FAD，再证明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE．

解答：（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB+BC=2BE，
∴AB=BE+BE-BC，
AB=BE+BE-BE-EC，
AB=BE-EC，
AB+EC=BE，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB DF=DE

，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
又∵AB+EC=BE，
∴AF=EC，
在△AFD和△CED中

AF=EC ∠DFA=∠DEC=90° DF=DE

，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE=∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；

（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在△AFD和△CED中

DF=DE ∠FAD=∠ECD ∠DFA=∠DEC=90°

，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB DF=DE

，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
AB=BE-AF=BE-EC=BE-（BC-BE）=BE-BC+BE=2BE-BC，
即：AB+BC=2BE．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．