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    （1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
    （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
    （3）深入探究：
    Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
    Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

    【答案】分析：（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；
    （2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
    （3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
    Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
    解答：解：（1）AF=BD；
    证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
    ∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
    同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
    ∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
    在△BCD和△ACF中，
    ，
    ∴△BCD≌△ACF（SAS），
    ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；

    （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；

    （3）Ⅰ．AF+BF′=AB；
    证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
    同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
    ∴AF+BF′=BD+AD=AB；

    Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
    证明如下：在△BCF′和△ACD中，
    ，
    ∴△BCF′≌△ACD（SAS），
    ∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
    又由（2）知，AF=BD；
    ∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°．
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    保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求
    AD
    AB
    的值；
    （3）类比探求：
    保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求
    AD
    AB
    的值．

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    （2012•岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
    （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
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    Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

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    9
    9
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    （1）操作发现：

    如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

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