Question

如图，在⊙O中，直径BC为10，点A是⊙O上的一个点，∠ABC的平分线交⊙O于点E，交AC于点F．过点E作⊙O的切线，交BC的延长线于虑D，连接CE．
（1）求证：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的长；
（3）如果点A由点B出发，在⊙O的圆周上运动，当点A在什么位置时，AE与BD互相平行？

Answer 1

（1）证明：∵AE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠EBC，=；
又∵∠ABE=∠ACE，∠DEC=∠EBC，
∴∠ACE=∠DEC．

（2）解：∵=，AB=AE，
∴==，故A、E三等分，
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°，AE∥BD；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，故AB=BC=×10=5，故AB=AE=CE=5，
AC=BE===5，
△AEF∽△CBF，设AF=x，则=，即=，
解得x=，即AF=；

（3）解：由（2）可知，当==，即A、E三等分时，AE与BD互相平行．
分析：（1）根据角平分线的性质可知∠ABE=∠EBC，=，由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE，由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC，故∠ACE=∠DEC；
（2）由（1）可知=，因为AB=AE，所以==，故A、E三等分，故三段弧所对的圆周角等于30°，再根据直角三角形及相似三角形的性质即可解答；
（3）由（2）可知，当==，即A、E三等分时，AE与BD互相平行．
点评：此题比较复杂，涉及到圆周角的性质定理及直角三角形的性质，是中学阶段的重点内容．