Question

（2013•永安市质检）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°?
（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若AD=3

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，BD，由三角形的外角与内角的关系可以求出∠A=30°，进而可以得出∠ADO=30°，就有∠EDO=90°而得出结论；
（2）在△ADB中，设DB=x，则AB=2x，由勾股定理建立方程求出x的值就可以得出结论．

解答：解：（1）连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ADE=∠A+∠C，且∠ADE=60°，∠C=30°，
∴60°=∠A+30°，
即∠A=30°，
∴AB=2BD．
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠ADE+∠ADO=∠EDO=60°+30°=90°
∴OD⊥CE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）设DB=x，则AB=2x，在Rt△ADB中由勾股定理，得
4x²-x²=（3

3

）²，
解得：x=3，
∴AB=6．
答：圆O的直径为6．

点评：本题考查了圆周角定理的运用，三角形外角与内角之间的关系的运用，勾股定理的运用，切线的判定定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键．