Question

已知：边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点．
（1）若MN=BM+ND，求证：∠MAN=45°；
（2）若△MNC得周长为2，求∠MAN的度数．

Answer 1

（1）证明：延长CB到E，使BE=DN，连接AE，
∵∠D=∠B=90°，AD=AB，DN=BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∵MN=BM+ND=BM+BE=ME，AM=AM，
∴△AME≌△AMN（SSS），
∴∠EAM=∠NAM．
∴∠MAN=∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM，
∵∠EAN=90°，
∴∠MAN=45°．

（2）解：如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AE，
∵∠D=∠B=90°，AD=AB，DN=BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∴∠EAN=∠DAB=90°，
又MN=2-CN-CM=DN+BM=BE+BM=ME，
∴△AMN≌△AME，
∴∠MAN=∠MAE=45°．
分析：（1）延长CB到E，使BE=DN，连接AE，因为∠D=∠B，AD=AB，DN=BE，所以△ABM≌△ADN，则有∠BAM=∠DAN，AN=AE，又因为MN=BM+DN，BM=DN，所以△AEM≌△ANM，故∠EAM=∠NAM=∠EAN=90°，即∠MAN=45°；
（2）延长CB至E，使BE=DN，则Rt△ABE≌Rt△AND，故AE=AN，进而求证△AMN≌△AME，即可求得∠MAN=∠MAE=45°．
点评：此题把全等三角形的判定和性质结合求解，有利于培养学生综合运用数学知识的能力．