Question

如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：
①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=

2

PC；④PE+PF=PC．
其中正确的是（　　）

A．①④

B．①②④

C．①③

D．①②③

Answer 1

分析：根据正方形性质得出AD=DC=BC；∠ADC=∠DCB；EC=DF=

1

2

DC，证△ADF≌△DCE，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DPF=90°即可判断①；过B作BG∥DE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分线，推出△ABP是等腰三角形，即可判断②；延长DE至N，使得EN=PF，证△CEN≌△CFP，推出CN=CP，∠ECN=∠PCF，求出△NCP是等腰直角三角形，即可判断③④．

解答：解：如图1，
∵正方形ABCD，E，F均为中点，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=

1

2

DC，
∵在△ADF和△DCE中，

AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC
∵∠DEC+∠CDE=90°
∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF
∴AF⊥DE，∴①正确；
如图2，
过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，
∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中点，
∴BG⊥AP，G是AD的中点，
∴BG是AP的垂直平分线，
∴△ABP是等腰三角形
∴BP=AB=AD，∴②正确；
如图3，
延长DE至N，使得EN=PF，连接CN，
∵∠AFD=∠DEC 
∴∠CEN=∠CFP
又∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴CE=CF，
∵在△CEN和△CFP中，

CE=CF ∠CEN=∠CFP EN=PF

，
∴△CEN≌△CFP（SAS），
∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，
∵∠PCF+∠BCP=90°
∴∠ECN+∠PCP=∠NCP=90°
∴△NCP是等腰直角三角形
∴PN=PE+NE=PE+PF=

2

PC，∴③正确，④错误；
∴①②③正确．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，垂直定义等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，综合性比较强，有一定的难度．