Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E。
（Ⅰ）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S_△BCE=S_△ABC，求此时直线BC的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S_△BCE=2S_△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为， 即， ∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2， ∴抛物线的解析式为（c>0）， ∴此时，抛物线与y轴的交点为，顶点为， ∵方程的两个根为，， ∴此时，抛物线与x轴的交点为， 如图，过点作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE=S△BCF， ∵S△BCE = S△ABC， ∴S△BCF=S△ABC， ∴， 设对称轴x=1与x轴交于点D，则， 由EF∥CB，得， ∴Rt△EDF∽Rt△COB， 有， ∴， 结合题意，解得， ∴点， 设直线BC的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为；
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为， 则抛物线的解析式为， 此时，抛物线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF， 则S△BCE=S△BCF， 由S△BCE=2S△AOC， ∴S△BCF=2S△AOC， 得， 设该抛物线的对称轴与x轴交于点D， 则， 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有， ∴， 即， 结合题意，解得，① ∵点在直线上，有，② ∴由①②，结合题意，解得， 有， ∴抛物线的解析式为。