Question

（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明；
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积；
（3）本问是运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ的运动过程：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形．

解答：（1）证明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴

AH

AD

=

AF

AC

，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴

EF

BC

=

AF

AC

，
∴

AH

AD

=

EF

BC

．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴

AH

AD

=

EH

BD

，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴

AH

AD

=

HF

CD

，
∴

EH

BD

=

HF

CD

，即

EH

4

=

HF

1

，∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=

4

5

x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-

4

5

x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-

4

5

x）=-

4

5

x²+4x=-

4

5

（x-

5

2

）²+5，
∴当x=

5

2

时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

（3）解：由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为

5

2

，宽为4-

4

5

×

5

2

=2．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H₁，D₁．
此时DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AH1

AH

，即

KN

5 2

=

2-t

2

，得KN=

5

4

（2-t）．
S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1
=

1

2

（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁
=

1

2

[

5

4

（2-t）+

5

2

]×t+

5

2

（2-t）
=-

5

8

t²+5；
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D₂．
此时DD₂=t，AD₂=AD-DD₂=4-t，
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AD2

AH

，即

KN

5 2

=

4-t

2

，得KN=5-

5

4

t．
S=S_△AKN
=

1

2

KN•AD₂
=

1

2

（5-

5

4

t）（4-t）
=

5

8

t²-5t+10．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

- 5 8 t2+5(0≤t≤2) 5 8 t2-5t+10(2＜t≤4)

．

点评：本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度．难点在于第（3）问，弄清矩形的运动过程是解题的关键．