在平面直角坐标系xOy中.⊙C的半径为r.P是圆内与圆心C不重合的点.⊙C的“完美点的定义如下:若直线CP与⊙C交于点A.B.满足|PA-PB|=2.则称点P为⊙C的“完美点 .如图为⊙C及其“完美点 P的示意图．(1)当⊙O的半径为2时.①点M不是⊙O的“完美点 .点N(0.1)是⊙O的“完美点 .点T(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.-$\frac{1}{2}$)是⊙O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA-PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．
（1）当⊙O的半径为2时，
①点M（$\frac{3}{2}$，0）不是⊙O的“完美点”，点N（0，1）是⊙O的“完美点”，点T（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）是⊙O的“完美点”（填“是”或者“不是”）；
②若⊙O的“完美点”P在直线y=$\sqrt{3}$x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y=$\sqrt{3}$x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

分析（1）①根据⊙C的“完美点”的定义即可判断；
②若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，如图1中，由点P在直线y=$\sqrt{3}$x上，OP=1，可得OQ=$\frac{1}{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．推出P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．再根据对称性可得另一个“完美点”；
（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA-PB|=2，推出|CP+2-（2-CP）|=2．可得CP=1．推出对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2-（2-CP）|=2，推出满足|PA-PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．如图2中，设直线y=$\sqrt{3}$x+1与y轴交于点D，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．设切点为E，连接CE，由△DOF∽△DEC，可得$\frac{OD}{DE}$=$\frac{OF}{CE}$，推出DE=$\sqrt{3}$，t的最小值为1-$\sqrt{3}$．，再根据对称性可得t的最大值，由此即可解决问题；

解答解：（1）点M不是⊙O的“完美点”，
点N是⊙O的“完美点”，
点T是⊙O的“完美点”．
故答案为不是，是，是．

②根据题意，|PA-PB|=2，
∴|OP+2-（2-OP）|=2，
∴OP=1．
若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，如图1中，

∵点P在直线y=$\sqrt{3}$x上，OP=1，
∴OQ=$\frac{1}{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
综上所述，PO的长为1，点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA-PB|=2，
∴|CP+2-（2-CP）|=2．
∴CP=1．
∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2-（2-CP）|=2，
∴|PA-PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．
如图2中，设直线y=$\sqrt{3}$x+1与y轴交于点D，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．
设切点为E，连接CE，

∵⊙C的圆心在直线y=$\sqrt{3}$x+1上，
∴此直线和x轴，y轴的交点C（0，1），F（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=1，
∵CE∥OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DE}$=$\frac{OF}{CE}$，
∴$\frac{1}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$，t的最小值为1-$\sqrt{3}$．
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．
同理可得t的最大值为1+$\sqrt{3}$．
综上所述，t的取值范围为1-$\sqrt{3}$≤t≤1+$\sqrt{3}$．

点评本题考查圆综合题、一次函数的应用、解直角三角形、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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