Question

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x²-6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵方程x²-6x+a=0有实数根，
∴△=36-4a≥0，
（1）当△=0时，即△=36-4a=0，解得a=9，此时三角形为等边三角形；
（2）当△＞0，即△=36-4a＞0时，解得a＜9，
设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂）此时存在一个等腰三角形底边为x₁，腰为x₂，此时不存在一个等腰三角形底边为x₂，腰为x₁即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x₁≤x₂，
由根与系数的关系可得，3x₁≤x₁+x₂=6，
∴x₁≤2，
∵x₁+x₂=6，x₁•x₂=a，
∴a=x₁•（6-x₁），
=6x₁-（x₁）²
=-（3-x₁）²+9
∴=-（3-x₁）²+9≤8，
∴当0＜a≤8，a=9时，三角形只有一个．
分析：由于方程x²-6x+a=0有两个实数根，所以△≥0，当△=0时可直接求出a的值，此时三角形是等边三角形；
当△＞0时可设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），由三角形的三边关系先判断出不存在一个等腰三角形底边为x₂，腰为x₁，再根据根与系数的关系即可判断出a的取值范围．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及三角形的三边关系，在解（2）时先判断出不存在一个等腰三角形底边为x₂，腰为x₁是解答此题的关键．