Question

如图甲，在正方形ABCD中，AB=6cm，点P、Q从A点沿边AB、BC、CD运动，点M从A点沿边AD、DC、CB运动，点P、Q的速度分别为1cm/s，3cm/s，点M的速度2cm/s．若它们同时出发，当点M与点Q相遇时，所有点都停止运动．设运动的时间为ts，△PQM的面积为Scm²，则S关于t的函数图象如图乙所示．结合图形，完成以下各题：
（1）当t为何值时，点M与点Q相遇？
（2）填空：a=

 

；b=

 

；c=

 

．
（3）当2＜t≤3时，求S与t的函数关系式；
（4）在整个运动过程中，△PQM能否为直角三角形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意列出方程2t+3t=4×6求解即可；
（2）分别令时间t为2、3、4求得相应的三角形的面积即为a、b、cd的值；
（3）当2＜t≤3时即点P、Q在线段AB上运动时，表示出该三角形的面积即可；
（4）分0＜t≤2、2＜t≤3、2＜t≤3、4＜t＜4.8四种情况讨论．

解答：解：（1）根据题意可列方程为2t+3t=4×6，则t=

24

5

答：当t=

24

5

时，点M与点Q相遇．

（2）8；12；13.5；

（3）当2＜t≤3时，
S与t的函数关系式是S=

1

2

(2t+3t-6)×6-

1

2

•2t•t-

1

2

(3t-6)(6-t)
=

1

2

t2+3t；

（4）当0＜t≤2时，△PQM不能成为直角三角形；
当2＜t≤3时，若能成为直角三角形，则有△BPQ∽△CMP，即

6-t

2t

=

3t-6

t

，可求出t=

18

7

；
当3＜t≤4时，若能成为直角三角形，则有△BPQ∽△AQM，即

12-2t

3t-6

=

12-3t

6-t

，无解；
当4＜t＜4.8时，6-t=3t-12，t=

9

2

．

点评：本题考查了动点问题，是难点，也是中考的重点，需熟练掌握．