Question

（2012•自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A₁及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l₁于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析：（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线l₁的解析式；
（2）如图2所示，连接B₁C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B₁C的解析式；
（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．

解答：解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A₁、B₁，
依题意，由翻折变换的性质可知A₁（3，0），B₁（-1，0），C点坐标不变，
因此，抛物线l₁经过A₁（3，0），B₁（-1，0），C（0，-3）三点，
设抛物线l₁的解析式为y=ax²+bx+c，则有：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故抛物线l₁的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）抛物线l₁的对称轴为：x=-

b

2a

=1，
如图2所示，连接B₁C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．
此时，|PA₁-PC|=|PB₁-PC|=B₁C．
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：
|P′A₁-P′C|=|P′B₁-P′C|＜B₁C（三角形两边之差小于第三边），
故|P′B₁-P′C|＜|PA₁-PC|，即|PA₁-PC|最大．
设直线B₁C的解析式为y=kx+b，则有：

-k+b=0 b=-3

，解得k=b=-3，
故直线B₁C的解析式为：y=-3x-3．
令x=1，得y=-6，
故P（1，-6）．

（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．
①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，
由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，
则D（1，r），F（1+r，r）．
∵点F（1+r，r）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴r=（1+r）²-2（1+r）-3，化简得：r²-r-4=0
解得r₁=

17 +1

2

，r₂=

- 17 +1

2

（舍去），
∴此圆的半径为

17 +1

2

；
②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为

17 -1

2

．
综上所述，此圆的半径为

17 +1

2

或

17 -1

2

．

点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．