Question

如图1和如图2，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，以点P为圆心，PC为半径画弧，交CB（或延长线）于点F，连结PF，PA，PC．
（1）如图1，当P是BD的中点时，请直接写出PF和PA的数量关系：______；
（2）如图2，当P不是BD的中点时，
①求证：PF=PA；
②若∠BCD=50°，直接写出∠APF的度数为______．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，P是BD中点，
∴PA=PC=PD；
（2）①∵PA、PF是所画圆的半径，
∴PF=PA；
②由题意得，点A、F、C共圆，如图2所示：
，
则∠APF=2∠ACF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD=2∠ACF，
∴∠APF=∠BCD=50°．
分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分可得PF=PA；
（2）①根据同圆的半径相等，可得出结论；
②点A、F、C共圆，则可得∠APF=2∠ACF，再由菱形的对角线平分一组对角，可得∠APF=∠BCD．
点评：本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，对角线平分一组对角的性质．