Question

12．如图，在△ABC中，⊙O经过A、B两点，圆心O在BC边上，且⊙O与BC边交于点E，在BC上截取CF=AC，连接AF交⊙O 于点D，若点D恰好是$\widehat{BE}$的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半径r；
（3）若∠ABC=30°，动直线l从与点A、O重合的位置开始绕点O顺时针旋转，到与OC重合时停止，设直线l与AC的交点为F，点Q为OF的中点，过点F作FG⊥BC于G，连接AQ、QG．请问在旋转过程中，∠AQG的大小是否变化？若不变，求出∠AQG的度数；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r²+（17-r）²=13²，求出即可；
（3）在旋转过程中∠AQG的大小不变．由切线的性质和已知条件推知：AQ=OQ=FQ=GQ．则点A、O、G、F在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，结合圆周角定理得到：∠AQG=120°．即在旋转过程中∠AQG的大小不变，始终等于120°．

解答 （1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为弧BE的中点，
∴∠BOD=∠DOE=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，而∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切线；

（2）OD=r，OF=17-r，在Rt△DOF中，r²+（17-r）²=13²，
解得r=5（舍去），r=12；即⊙O的半径r为12，

（3）在旋转过程中∠AQG的大小不变．
由（1）知，AC是⊙O切线，则∠OAC=90°．
∵FG⊥BC，
∴∠OGF=90°．
∵点Q是OF的中点，
∴AQ=OQ=FQ=GQ．
∴点A、O、G、F在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，
∴∠AQG=2∠AOG．
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°．
∴∠AQG=120°．
∴在旋转过程中∠AQG的大小不变，始终等于120°．

点评 本题考查了几何变换综合题，需要掌握切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．