如图1.△ABC中.AB=AC.点D在BA的延长线上.点E在BC上.DE=DC.点F是DE与AC的交点.且DF=FE． (1)图1中是否存在与∠BDE相等的角?若存在.请找出.并加以证明.若不存在.说明理由, (2)求证:BE=EC, (3)若将“点D在BA的延长线上.点E在BC上和“点F是DE与AC的交点.且DF=FE 分别改为“点D在AB上.点E在CB的延长线上和“点F是ED的延� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．

  （1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
  （2）求证：BE=EC；
  （3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

考点：相似形综合题,三角形的外角性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需证明△DCA≌△△EDG即可解决问题．
（3）过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cosα．过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，易证△DCA≌△△EDG，则有DA=EG，CA=DG=1．易证△ADF∽△GDE，则有

．由DF=kFE可得DE=EF-DF=（1-k）EF．从而可以求得AD=

1-k

，即GE=

1-k

．易证△ABC∽△GBE，则有

，从而可以求出BE．

解答：解：（1）∠DCA=∠BDE．
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，

则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，

∠DCA=∠GDE

∠DAC=∠DGE

DC=DE

∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG．
∴DG=AB．
∴DA=BG．
∵AF∥EG，DF=EF，
∴DA=AG．
∴AG=BG．
∵EG∥AC，
∴BE=EC．

（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，
∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA．
∵AC∥EG，
∴∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，

∠DCA=∠GDE

∠DAC=∠DGE

DC=DE

∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG
∴DG=AB=1．
∵AF∥EG，
∴△ADF∽△GDE．
∴

．
∵DF=kFE，
∴DE=EF-DF=（1-k）EF．
∴

kEF

(1-k)EF

．
∴AD=

1-k

．
∴GE=AD=

1-k

．
过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH．
∴BC=2BH．
∵AB=1，∠ABC=α，
∴BH=AB•cos∠ABH=cosα．
∴BC=2cosα．
∵AC∥EG，
∴△ABC∽△GBE．
∴

．
∴

2cosα

1-k

．
∴BE=

2kcosα

1-k

．
∴BE的长为

2kcosα

1-k

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，有一定的难度．

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