Question

阅读理解并填空：
（1）为了求代数式x²+2x+3的值，我们必须知道x的值．若x=1，则这个代数式的值为

 

；若x=2，则这个代数式的值为

 

，…，可见，这个代数式的值因x的取值不同而

 

（填“变化”或“不变”）．尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
（2）数学课本第105页这样写“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题．例如：x²+2x+3=（x²+2x+1）+2=（x+1）²+2，因为（x+1）²是非负数，所以，这个代数式x²+2x+3的最小值是

 

，这时相应的x的值是

 

．
（3）求代数式-x²+14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．
（4）求代数式2x²-12x+1的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．
（5）已知y=

1

2

x2-3x-

3

2

，且x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，求这时y的变化范围．

Answer 1

考点：因式分解的应用,非负数的性质：偶次方

专题：

分析：（1）把x=1和x=2分别代入代数式x²+2x+3中，再进行计算即可得出答案，再比较数值的变化情况即可；
（2）根据非负数的性质即可得出答案；
（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（5）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质以及x的取值范围即可得出答案．

解答：解：（1）把x=1代入x²+2x+3中，得：1²+2+3=6；
若x=2，则这个代数式的值为2²+2×2+3=11；
可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化；

（2）根据题意可得：
x²+2x+3=（x²+2x+1）+2=（x+1）²+2，
∵（x+1）²是非负数，
∴这个代数式x²+2x+3的最小值是2，相应的x的值是-1；

（3）∵-x²+14x+10=-（x-7）²+59，
∴-x²+14x+10的最大值是59，相应的x的值是7；

（4）根据题意得：
∴2x²-12x+1=2（x-3）²-17，
∴代数式2x²-12x+1的最小值是-17，相应的x的值是3；

（5）∵y=

1

2

x2-3x-

3

2

，
∴y=

1

2

（x-3）²-6，
∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，
∴这时y的变化范围是：-6≤y≤-4．
故答案为：6，11，变化；故答案为：-2，1．

点评：此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．