Question

已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   或
4. D.
   条件不足，无法计算

Answer 1

C
分析：因为BM可以交AD，也可以交CD．分两种情况讨论：
①BM交AD于F，则△ABE≌△BAF．推出AF=BE=3，所以FD=EC，连接FE，则四边形ABEF为矩形，所以M为该矩形的对角线交点，所以BM=AC的一半，而AE等于5（勾股定理得之）；
②BM交CD于F，则BF垂直AE（通过角的相加而得）且△BME∽△ABE，则=，所以求得BM等于．
解答：解：分两种情况讨论：
①BM交AD于F，
∵∠ABE=∠BAF=90°，AB=BA，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL）
∴AF=BE，
∵BE=3，
∴AF=3，
∴FD=EC，
连接FE，则四边形ABEF为矩形，
∴BM=AE，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=5，
∴BM=；

②BM交CD于F，
∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEM+∠EBM=90°，
∴∠BME=90°，
即BF垂直AE，
∴△BME∽△ABE，
∴=，
∵AB=4，AE=5，BE=3，
∴BM=．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质和勾股定理，以及三角形的全等和相似，是基础知识要熟练掌握．