Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；

（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．

 

  

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）²﹣1，将（1，0）代入得：

0=a（1+1）²﹣1，

解得；a=，

∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²﹣1；

（2）∵A（﹣1，﹣1），

∴∠COA=45°，

∵∠CAO=90°，

∴△CAO是等腰直角三角形，

∴AC=AO，

∴C（﹣2，0），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

将A，C点代入得出：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，

将y=（x+1）²﹣1和y=﹣x﹣2联立得：

，

解得：，，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，B点坐标为：（﹣5，3）；

（3）过点B作BP⊥EF于点P，

由题意可得出：E（﹣5，﹣2），设直线EF的解析式为：y=dx+c，

则，

解得：，

∴直线EF的解析式为：y=x+，

∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为：y=﹣2x+e，

将B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，

解得：e=﹣7，

∴直线BP的解析式为：y=﹣2x﹣7，

∴将y=﹣2x﹣7和y=x+联立得：

，

解得：，

∴P（﹣3，﹣1），

故存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．