Question

在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0）且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0）、B（-1，0）、C（-1，2），△ABC关于直线l的对称图形是△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁，并求出A₁、B₁、C₁的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a，0）其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P₁，点P₁关于直线l的对称点是点P₂，求P₁P₂的长（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）因为关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A₁B₁C₁的三个顶点的坐标；
（2）P与P₁关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P₁的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P₂的坐标，即可PP₂的长．

解答：解：（1）由题意可知：A₁（8，0）、B₁（7，0）、C₁（7，2），
如图所示：


（2）如图1，

当0＜a＜3时，∵P与P₁关于y轴对称，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，
设P₂（x，0），可得：

x+a

2

=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
则PP₂=6-a+a=6．
如图2，

当a＞3时，∵P与P₁关于y轴对称，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，
设P₂（x，0），可得：

x-a

2

=3，即x=6+a，
∴P₂（6+a，0），
则PP₂=6+a-a=6．
综上所述，当0＜a＜3时，P₁P₂=6-2a；当a＞3时，P₁P₂=2a-6．

点评：本题考查了学生动手操的能力，也考查学生对概念理解与操作技能掌握情况．本题设置了轴对称变化和点的坐标变化的有关问题，对于考查目标的实现具有很好的作用．题目的背景清晰、明快，设计自然、合理．