Question

矩形ABCD在如图所示的直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），BC=2AB、直线l经过点B，交AD边于点P₁，此时直线l的函数表达式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的长；
（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD、BC边于点P、E．
①当四边形BEPP，是菱形时，求平移的距离；
②设AP=m，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵直线y=2x+1经过y轴上的点B，
∴x=0，y=1，
∴B（0，1），
而A的坐标为（0，3），
∴AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴P₁的纵坐标为3，
代入y=2x+1，x=1，
∴AP₁=1；

（2）①当四边形BEPP₁是菱形时，
即，
∴，
设平移后的直线的解析式为y=2x+b，
把代入得，
∴与y轴的交点，
∴沿y轴负方向平移的距离为；
②∵AP=m，AP₁=1，
∴PP₁=BE=m-1，
而S_梯形ABEP=S_矩形ABCD或S_梯形ABEP=S_矩形ABCD，
∴或．
∴m=2或者m=3，
所以m=2或3．
分析：（1）首先根据l的函数解析式y=2x+1可以求出B的坐标，也就求出了AB，又BC=2AB，由此求出BC，然后就可以求出P₁的纵坐标为3，代入直线解析式可以求出横坐标，即求出了AP₁的长；
（2）①当四边形BEPP₁是菱形时，根据勾股定理可以求出BP₁的长，也就求出了BE的长度，然后即可求出E的坐标，再利用待定系数法可以确定平移后的直线的解析式，接着求出平移后的直线的与y轴的交点坐标，比较两个与y轴的交点坐标即可求出平移的距离；
②由AP=m，AP₁=1可以得到PP₁=BE=m-1，而直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5，由此可以列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．
点评：此题把矩形放在坐标系的背景中，综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用矩形与直线的关系以及直角三角形、梯形等知识求出线段的长是解题的关键．