Question

在△ABC中，∠ACB=90°，点A的坐标为（0，2），点B（-3，1）在抛物线y=ax²+ax-2上，点C在x轴上．
（1）求a的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰直角三角形
①如图1，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，当点C′（2，1）恰好落在该抛物线上，请你通过计算说明点B′也在该抛物线上．
②如图2，设抛物线与y轴的交点为D、P、Q两点同时从D点出发，点P沿折线D→C→B运动到点B，点Q沿抛物线（在第二、三象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B，为什么？

Answer 1

解：（1）∵点B（-3，1）在抛物线y=ax²+ax-2上，
∴1=9a-3a-2，
∴a=；
（2）过B作BE⊥x轴，垂足为E，设OC=a，则CE=OE-OC=3-x，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠BCE+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCE=∠CAO，
∴△BEC∽△COA，
∴，
即，
整理得：a²-3a+2=0，
解得：a=1或2，
∴点C的坐标是（-1，0）或（-2，0）；
（3）若△ABC是等腰直角三角形，则C的坐标是（-1，0），
①将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，则AC=AC′=，CC′=，∠CAC′=90°，
∴点B′的坐标是（1，-1），
把（1，-1）代入y=x²+x-2得：×1+×1-2=-1，
∴点B′也在该抛物线上；
②设抛物线的顶点M，
∵y=x²+x-2=（x+）²-
∴M点的坐标为（-，-），
∴DC+BC=2≈4.42，DM+MB=+4.517，
∴DC+BC＜DM+MB，
∵P、Q两点的运动速度相同，
∴P点先到达点B．
分析：（1）把点B的坐标（-3，1）代入二次函数的解析式y=ax²+ax-2即可求出a的值；
（2）过B作BE⊥x轴，垂足为E，设OC=a，证明△BEC∽△COA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等得到根据a的方程解方程求出a的值即可；
（3）①若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标为（-1，0），将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，则AC=AC′=，CC′=，∠CAC′=90°，进而求出B′的坐标，代入函数的解析式验证即可；②由抛物线的解析式可求出顶点M坐标（-，-），物线与y轴的交点为D、P、Q两点同时从D点出发，点P沿折线D→C→B运动到点B，点Q沿抛物线（在第二、三象限的部分）运动到点B，则DC+BC=2，DM+MB=+，因为P、Q两点的运动速度相同再比较DC+BC和DM+MB的大小即可知道谁先到达点B．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、坐标系两点间的距离公式等重要知识；（3）题中，由于Q点的移动轨迹是条曲线，在求其移动距离时，能够通过辅助线来化曲为直，间接的得出P、Q的路程大小是解决问题的关键．