Question

如图，已知在四边形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．
（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形并证明之；
（2）若四边形BECF的面积是6cm²且BC+AC=cm时．求AB．

Answer 1

解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC，
∵BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，EC=AE，
∴BE=AE，∴CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．
（2）由（1）可知四边形AEFC为平行四边形，
∴EF=AC，根据菱形的面积公式可知：BC×AC=6×2=12（cm）²，又BC+AC=cm，
（BC+AC）²﹣2BC×AC=BC²+AC²=105﹣2×12=81（cm）²，
∴AB=2BE=2×=9cm．