Question

已知：如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）在x轴上方找一点C，使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，得，
解方程，得
x₁=-2，x₂=4，
∵点A在点B的左侧，
∴B（4，0）
又，
∴Q（1，-6）．
设直线BQ：y=kx+b（k≠0）．则把B、Q的坐标代入，得

解得，
∴直线BQ的解析式是：y=2x-8，
∴E（0，-8）；

（2）由（1）知，B（4，0），E（0，-8），则OE=8，OB=4．
①如图1，若∠COB=∠EOB=90°．
当△BOC∽△BOE时，==1，即OC=OE=8，则C₁（0，8）；
当△COB∽△BOE时，=，即=，则CO=2，故C₂（0，2）；
②如图1，若∠CBO=∠EOB=90°．
当△CBO∽△BOE时，=，即=，解得，CB=2，故C₃（4，2）；
当△OBC∽△BOE时，==1，即BC=OE=8，故C₄（4，8）；
③如图2，若∠OCB=∠BOE=90°，设C（x，y）．
△OCB∽△BOE时，=，即=，或= ①．
∵直角△BOC中，根据勾股定理知OC²+BC²=OB²=16，②
∴由①②得，OC=，BC=
OC•BC=．
∵OB•y=OC•BC，
∴y=，
∴x=，即C₅（，）．
同理，当△BCO∽△BOE时，C₆（，）．
综上所述，符合条件的点C的坐标是：
C₁（0，8），C₂（0，2），C₃（4，2），C₄（4，8），C₅（，），C₆（，）．
分析：（1）根据二次函数解析式求得点B的坐标；设直线BQ：y=kx+b（k≠0）．则把B、Q的坐标代入该解析式列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；最后令x=0，则y=-8，即E（0，-8）；
（2）需要分类讨论：①如图1，若∠COB=∠EOB=90°；②如图1，若∠CBO=∠EOB=90°；③如图2，若∠OCB=∠BOE=90°．由相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数的综合题．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．