Question

在正方形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E．若正方形的周长是8，则BE的长为________（结果用根号表示）

Answer 1

2-2
分析：根据正方形的对角线性质可得：AD=AB=2，∠ABE=∠BAC=∠DAC=45°；根据角平分线可得∠BAE=∠EAC=22.5°，进而得到∠AED=∠ABE+∠BAE=67.5°=∠DAE，根据等角对等边可得DE=AD=2．再利用勾股定理算出对角线DB的长，根据EB=BD-DE即可求出BE的长．
解答：解：∵ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BAC=∠DAC=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=22.5°．
∴∠DAE=45°+22.5°=67.5°；
∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°．
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD，
∵正方形的周长是8，
∴AB=AD=2，
∴DE=2，
在直角三角形ABD中，
BD===2，
∴BE=BD-ED=2-2，
故答案为：2-2．
点评：此题考查正方形的性质和等腰三角形的判定，根据角的度数算出∠DAE=∠DEA，从而得到DE的长，这是解决此题的突破口．