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    已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方．
    （1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为______；
    （2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为______；
    （3）如图③，若∠ABC=30°，BM=1，CM=3，则AM的长为______；
    （4）如图④，若∠ABC=n°，BM=a，CM=b，（其中a＜b），求出AM的长（答案用含有a，b及n°的三角函数的代数式表示）．
    作业宝

    解：
    （1）过点A作AE⊥MC，垂足为E，过点A作AD⊥BM，垂足为D，
    则∠D=∠AEC=90°，∠AEM=90°，
    ∵AB=AC，
    ∴，
    ∴∠AMD=∠AMC，
    ∴MA是∠CMD的角平分线，
    ∴AD=AE，
    在Rt△ADB和Rt△AEC中，
                   
    ∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL），
    ∴DB=CE，
    同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM，
    ∴MD=ME，
    ∴DM=ME=（DM+ME）=（BM+DB+MC-CE）=（BM+CM）=×（1+3）=2，
    ∵弧AB=弧AC，
    ∴∠AMB=∠ABC=60°，
    ∵∠D=90°，
    ∴∠DAM=30°，
    ∴AM=2DM=4，
    故答案为：4；
                                
    （2）由（1）知：DM=2，
    ∵∠AMD=∠ABC=45°，
    ∴AM=DM=2，
    故答案为：；

    （3）由（1）知：DM=2，
    ∵∠AMD=∠ABC=30°，
    ∴AM=2AD，
    由勾股定理得：AD2+22=（2AD）2，
    AD=，
    ∴AM=2AD=
    故答案为：；

    （4）由（1）知：DM=ME==，
    在Rt△ADM中，，
    ∴．
    分析：（1）过点A作AE⊥MC，垂足为E，过点A作AD⊥BM，垂足为D，求出∠ABC=∠AMD=∠AMC，求出AD=AE，证Rt△ADB≌Rt△AEC，Rt△ADM≌Rt△AEM，推出MD=ME，DB=CE，求出DM=ME=2，在Rt△ADM中，解直角三角形求出即可．
    （2）在Rt△ADM中，∠AMB=45°，DM=2，解直角三角形求出即可．
    （3）在Rt△ADM中，∠AMB=30°，DM=2，解直角三角形求出即可．
    （4）在Rt△ADM中，∠AMB=n°，DM=，解直角三角形求出即可．
    点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，角平分线性质，解直角三角形，勾股定理的应用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．
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    精英家教网如图，已知：D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．
    求证：（1）∠BAE=∠CAE；    （2）AD⊥BC．

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