Question

6．如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据平行线的想知道的∠POA=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠PBO=∠PAO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，于是得到结论；
（2）过O作OH⊥BC于H，则CH=$\frac{1}{2}$BC，根据勾股定理得到OP=$\sqrt{10}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OB，
∵∠BCA=$\frac{1}{2}∠AOB$，
又∵BC∥OP，
∴∠POA=∠BCA，
∴∠POA=∠BOP，
在△AOP与△BOP中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠POA=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO=∠PAO，
又∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OBP=90°，
又OB为⊙O的半径，
∴PB为⊙O的切线；

（2）解：过O作OH⊥BC于H，则CH=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△AOP中，OP²=PA²+OA²=3²+1²=10，
又∵OP＞0，
∴OP=$\sqrt{10}$，
∵∠POA=∠BCA，
∴cos∠BCA=cos∠POA=$\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，
在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA=$\frac{CH}{OC}$即$\frac{1}{{\sqrt{10}}}=\frac{CH}{1}$，
∴CH=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴BC=2CH=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．