Question

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若sin∠ABM=

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，求证：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

分析：可构建等腰三角形来解答，如图，证明△MBE是等腰三角形，关键是证明△MND≌△ENC，点N是CD的中点，∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC；设AM=1，由sin∠ABM=

10

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，由勾股定理得BM=

10

，AB=

BM2-AM2

=3，所以，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，所以，ME=MN+NE=BE=BC+CE=5，即可证明；

解答：证明：如图，分别延长BC、MN相交于点E，
设AM=1，∵sin∠ABM=

10

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，
∴

AM

BM

=

10

10

，得BM=

10

，
∴AB=

BM2-AM2

=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且DN=CN=

1

2

DC=

3

2

，
在Rt△DMN中，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，
又∵∠MDN=∠ECN=90°、∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA）
∴CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，
∴ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC．

点评：本题考查了正方形勾股定理的运用、全等三角形及等腰三角形的判定，本题综合性较强，证明△MND≌△ENC，是解答本题的关键．